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web関係や、プログラミングなどを扱う予定です。プランなど立てていないので、不定期投稿になります。

線形代数ーベクトルー

かなり雑なノートです。

単位ベクトル

\pm \frac { 1 }{ \left| \overrightarrow { a }  \right|  } \overrightarrow { a }

内積と平行四辺形

内積

 \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \cos { \theta  } \\ \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =0\Longleftrightarrow \overrightarrow { a } と\overrightarrow { b } は垂直

平行四辺形の面積

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S=\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \sin { \theta  } \\ \quad =\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \sqrt { 1-{ \cos { \theta  }  }^{ 2 } } \\ \quad =\sqrt { { \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }-{ (\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right|  }\cos { \theta  } )^{ 2 } } \\ \quad =\sqrt { { \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }-(\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } )^{ 2 } }

\overrightarrow { a } =\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } \end{pmatrix}\quad \overrightarrow { b } =\begin{pmatrix} b_{ 1 } \\ b_{ 2 } \end{pmatrix}\quad とおくと、

S=\left| { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 } \right| \\ \quad =\left| \begin{vmatrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } \end{vmatrix} \right| \\ \quad =\left| det(\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { b } ) \right|
と表せる。

\overrightarrow { a } と\overrightarrow { b } が平行\Leftrightarrow det(\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { b } )=0

外積

外積の幾何的性質

  1. \overrightarrow { a } \times \overrightarrow { b } は、\overrightarrow { a } と\overrightarrow { b } の両方に垂直
  2. \left| \overrightarrow { a } \times \overrightarrow { b }  \right| は、\overrightarrow { a } と\overrightarrow { b } の張る平行四辺形の面積に等しい
 \overrightarrow { a } と\overrightarrow { b } が平行\Leftrightarrow \overrightarrow { a } \times \overrightarrow { b } =0


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